Extrapedia

L'Analisi funzionale è una branca dell'Analisi matematica, il cui nucleo è costituito dallo studio di spazi vettoriali dotati di una sorta di struttura limite (es. prodotto interno, norma, topologia, ecc.) e delle funzioni lineari definite su questi spazi, rispettando queste strutture nel giusto modo. Le radici storiche dell'Analisi funzionale si trovano nello studio degli spazi di funzioni e nella formulazione di proprietà di trasformazioni di funzioni come la Trasformata di Fourier così come trasformazioni che definiscono operatori continui, unitari, ecc. tra spazi di funzioni. Questo punto di vista si è rivelato particolarmente utile per lo studio delle Equazioni differenziali e integrali.

L'uso della parola funzionale come sostantivo risale al Calcolo delle variazioni, implicando una funzione il cui argomento è una funzione di ordine superiore. Il termine fu usato per la prima volta nel libro di Jaques Hadamard del 1910. Tuttavia, il concetto generale di funzionale era stato precedentemente introdotto nel 1887 dal matematico e fisico italiano Vito Volterra. La teoria dei funzionali non lineari fu continuata dagli studenti di Hadamard, in particolare da Maurice René Fréchet e Paul Lévy. Hadamard fondò anche la moderna scuola di analisi funzionale lineare ulteriormente sviluppata da Frigyes Riesz e il gruppo di matematici polacchi attorno a Stefan Banach.

Nei moderni testi introduttivi all'Analisi funzionale, il soggetto è visto come lo studio di spazi vettoriali dotati di una topologia, in particolare spazi infinito-dimensionali. Al contrario, l'Algebra lineare si occupa principalmente di spazi a dimensione finita e non utilizza la topologia. Una parte importante dell'Analisi funzionale è l'estensione della teoria della misura, dell'integrazione e della probabilità a spazi infiniti, anche noti come analisi a dimensione infinita.